Moving Media Modello Time Series

Una nota a Pankratz (1983). a pagina 48, dice: La media mobile etichetta è tecnicamente errata, poiché i coefficienti MA possono essere negativi e non possono sommare all'unità. Questa etichetta viene utilizzata per convenzione. Box e Jenkins (1976) dice anche qualcosa di simile. A pagina 10: La media mobile nome è un po 'fuorviante, perché i pesi 1, Perdita di Carico, Perdita di Carico, ldots, Perdita di Carico, che moltiplicano il come, hanno bisogno di unità non totale né bisogno che essere positivo. Tuttavia, tale nomenclatura è di uso comune, e pertanto si impiegano esso. Spero che aiuti. Se si guarda a un processo a media nulla MA: Xt varepsilont theta1 varepsilon cdots thetaq varepsilon, allora si potrebbe considerare il lato destro come simile ad una media mobile ponderata dei termini varepsilon, ma dove i pesi dont sommare a 1. Si noti che ciascun valore di yt può essere pensato come una media mobile ponderata degli ultimi pochi errori di previsione. spiegazioni simili del termine possono essere trovati in numerosi altri luoghi. (Nonostante la popolarità di questa spiegazione, non so per certo che questa è l'origine del termine, ma ad esempio forse c'era in origine qualche connessione tra il modello e lo spostamento-media smoothing.) Si noti che Graeme Walsh sottolinea in osservazioni di cui sopra che questo potrebbe aver avuto origine con Slutsky (1927) la somma di Random cause come fonte di processi ciclici 1 Hyndman, RJ e Athanasopoulos, G. (2013) Previsione: principi e pratica. Sezione 84. otextsfpp84. Consultato il 22 settembre 2013.There sono un certo numero di approcci alla modellazione serie temporali. Abbiamo delineare alcuni degli approcci più comuni al di sotto. Trend, Stagionale, decomposizioni residui Un approccio è quello di scomporre la serie storica in un trend, stagionalità, e componente residuale. Triple livellamento esponenziale è un esempio di questo approccio. Un altro esempio, chiamato loess stagionale, si riferiscono al minimi quadrati pesati localmente ed è discussa da Cleveland (1993). Non discutiamo loess stagionale in questo manuale. Frequenza metodi basati altro approccio, comunemente usato in applicazioni scientifiche e ingegneristiche, è quello di analizzare la serie nel dominio della frequenza. Un esempio di questo approccio nel modellare un set di dati di tipo sinusoidale viene mostrato nel caso di studio di deflessione del fascio. La trama spettrale è lo strumento principale per l'analisi in frequenza delle serie storiche. Autoregressivo (AR) Models Un approccio comune per la modellazione di serie temporali univariata è il modello autoregressivo (AR): Xt delta phi1 X phi2 X cdots PHIP X A, dove (Xt) è la serie storica, (A) è il rumore bianco, e delta a sinistra (1 - p somma phii destra) mu. con (mu) che indica la media del processo. Un modello autoregressivo è semplicemente una regressione lineare del valore attuale della serie contro uno o più valori precedenti della serie. Il valore di (p) è chiamato l'ordine del modello AR. modelli AR possono essere analizzati con uno dei vari metodi, tra lineare dei minimi quadrati tecniche standard. Essi hanno anche una interpretazione semplice. Media mobile (MA) Modelli Un altro approccio comune per la modellazione di modelli di serie storica univariati è il modello media mobile (MA): Xt mu A - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, dove (Xt) è la serie storica, (mu ) è la media della serie, (A) sono termini di rumore bianco, e (theta1,, ldots,, thetaq) sono i parametri del modello. Il valore di (q) è chiamato l'ordine del modello MA. Cioè, un modello media mobile è concettualmente una regressione lineare del valore attuale della serie contro il rumore bianco o shock casuali di uno o più valori precedenti della serie. Gli shock casuali in ogni punto si presume che provengono dalla stessa distribuzione, in genere una distribuzione normale, con la posizione a zero e la scala costante. La distinzione in questo modello è che questi shock casuali sono propogated a valori futuri della serie storica. Montaggio delle stime MA è più complicato rispetto ai modelli AR, perché i termini di errore non sono osservabili. Ciò significa che le procedure di montaggio non lineari iterativi devono essere utilizzati al posto dei minimi quadrati lineari. modelli MA hanno anche una interpretazione meno evidente rispetto ai modelli AR. A volte l'ACF e PACF si suggeriscono che un modello MA sarebbe una scelta del modello migliore e talvolta entrambi AR e termini MA deve essere usato nello stesso modello (si veda la Sezione 6.4.4.5). Si noti, tuttavia, che i termini di errore dopo che il modello è in forma dovrebbe essere indipendente e seguire le ipotesi standard per un processo univariata. Box e Jenkins hanno diffuso un approccio che combina i mobili approcci media e la autoregressivi nel libro Analisi delle Serie: Previsione e controllo (di sicurezza, Jenkins, e Reinsel, 1994). Sebbene entrambi gli approcci media autoregressivi e movimento erano già noti (e sono stati originariamente indagine da Yule), il contributo di Box e Jenkins era nello sviluppo di una metodologia sistematica per identificare e stimare modelli che potrebbero incorporare entrambi gli approcci. Questo rende i modelli Box-Jenkins una potente classe di modelli. Le prossime sezioni saranno discutere di questi modelli in detail.8.4 modello a media mobile Invece di utilizzare valori passati della variabile tempo in una regressione, un modello di media mobile utilizza errori di previsione del passato in un modello di regressione-like. y c et theta e theta e puntini theta e, dove et è rumore bianco. Ci riferiamo a questo come un modello MA (q). Naturalmente, noi non osserviamo i valori di et, quindi non è davvero una regressione nel senso comune. Si noti che ogni valore di yt può essere pensato come una media mobile ponderata degli ultimi pochi errori di previsione. Tuttavia, modello a media mobile non deve essere confuso con lo spostamento di smoothing media abbiamo discusso nel capitolo 6. Un modello a media mobile viene utilizzato per prevedere i valori futuri mentre si muove smoothing media viene utilizzato per stimare l'andamento del ciclo dei valori del passato. Figura 8.6: Due esempi di dati da modello a media mobile con parametri diversi. Sinistra: MA (1) con y t 20e t 0.8e t-1. A destra: MA (2) con y t e t - e t-1 0.8e t-2. In entrambi i casi, e t è normalmente distribuito rumore bianco a media nulla e varianza uno. Figura 8.6 mostra alcuni dati da un MA (1) modello e un (2) il modello MA. La modifica dei parametri theta1, punti, risultati thetaq in diversi modelli delle serie storiche. Come per i modelli autoregressivi, la varianza del termine di errore et cambierà solo la scala della serie, non gli schemi. È possibile scrivere qualsiasi modello stazionario AR (p) come modello MA (infty). Ad esempio, utilizzando la sostituzione ripetute, possiamo dimostrare questo per un AR (1) Modello: iniziare YT amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 E et amp phi13y phi12e phi1 E et amptext fine fornito -1 lt phi1 lt 1, il valore di phi1k otterrà più piccolo come k diventa più grande. Così alla fine si ottiene YT et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, un (infty) processo MA. Il risultato inverso vale se imponiamo alcuni vincoli sui parametri MA. Poi il modello MA è chiamato invertibile. Vale a dire, che possiamo scrivere qualsiasi processo invertibile MA (q) come un processo AR (infty). modelli invertibili non sono semplicemente ci permettono di convertire da modelli MA a AR modelli. Hanno anche alcune proprietà matematiche che li rendono più facili da utilizzare nella pratica. I vincoli invertibilità sono simili ai vincoli di stazionarietà. Per un MA (1) Modello: -1lttheta1lt1. Per un MA (2) Modello: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. condizioni più complesse valgono per qge3. Anche in questo caso, R si prenderà cura di questi vincoli quando si stima il models.2.1 modello a media mobile (modelli MA) modelli di serie tempo noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi eo movimento termini medi. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. Per soddisfare una limitazione teorica chiamato invertibilità. abbiamo limitare MA (1) modelli di avere valori con valore assoluto inferiore 1. Nell'esempio appena dato, 1 0.5 sarà un valore di parametro ammissibile, che non sarà 1 10.5 2. Invertibilità dei modelli MA Un modello MA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti. Facendo convergere, si intende che i coefficienti AR diminuiscono a 0 mentre ci muoviamo indietro nel tempo. Invertibilità è una limitazione programmata nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti dei modelli con i termini MA. La sua non è una cosa che controlliamo per l'analisi dei dati. Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilit'a per MA (1) modelli è riportato in appendice. Avanzate teoria Note. Per un modello MA (q) con un determinato ACF, vi è un solo modello invertibile. La condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y-. - Q q y 0 ha soluzioni per y che non rientrano nel cerchio unitario. R Codice per gli esempi in Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello x t 10 w t. 7W t-1. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati per tracciare la ACF teoriche sono state: acfma1ARMAacf (Mac (0,7), lag. max10) 10 ritardi di ACF per MA (1) con theta1 0,7 lags0: 10 crea una variabile denominata ritardi che va da 0 a 10. trama (ritardi, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) aggiunge un asse orizzontale per la trama il primo comando determina l'ACF e lo memorizza in un oggetto chiamato acfma1 (la nostra scelta del nome). Il comando plot (il 3 ° comando) trame in ritardo rispetto ai valori ACF per ritardi da 1 a 10. Il parametro ylab Contrassegni l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul terreno. Per visualizzare i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare il comando acfma1. La simulazione e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. xcarima. sim (N150, elenco (Mac (0,7))) Simula n 150 valori da MA (1) xxc10 aggiunge 10 per rendere medi default 10. simulazione a significare 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) i dati) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per dati campione simulati) nell'Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati sono stati acfma2ARMAacf (Mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (ritardi, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (2) con theta1 0.5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (N150, l'elenco (Mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principale simulato MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per simulato MA (2) dati) Appendice: prova di proprietà di MA (1) per gli studenti interessati, qui ci sono prove per le proprietà teoriche del (1) modello MA. Varianza: (testo (xt) testo (mu peso theta1 w) 0 di testo (in peso) di testo (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, l'espressione precedente 1 w 2. Per ogni h 2, l'espressione precedente 0 . il motivo è che, per definizione di indipendenza della wt. E (w k w j) 0 per ogni k j. Inoltre, perché la w t hanno media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Per una serie temporale, applicare questo risultato per ottenere l'ACF cui sopra. Un modello MA invertibile è uno che può essere scritta come modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo. Bene dimostrare invertibilità per la (1) Modello MA. Abbiamo poi sostituto relazione (2) per w t-1 nell'equazione (1) (3) (ZT WT theta1 (z - theta1w) peso theta1z - theta2w) Al tempo t-2. l'equazione (2) diventa Abbiamo poi rapporto sostituto (4) per w t-2 nell'equazione (3) (ZT peso theta1 z - theta21w WT theta1z - theta21 (z - theta1w) WT theta1z - theta12z theta31w) Se dovessimo continuare a ( infinitamente), otterremmo il modello AR ordine infinito (ZT peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z punti) Nota però, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà (infinitamente) in termini di dimensioni, come ci muoviamo nel tempo. Per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 LT1. Questa è la condizione per un MA (1) Modello invertibile. Infinite Modello di ordine MA In settimana 3, e vedere che un AR (1) modello può essere convertito in un modello di ordine MA infinite: (xt - mu peso phi1w phi21w punti phik1 w punti riassumono phij1w) Questa somma dei termini di rumore bianco del passato è conosciuto come la rappresentazione causale di un AR (1). In altre parole, x t è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini che vanno indietro nel tempo. Questo è chiamato un ordine infinito MA o MA (). Un ordine MA finito è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine MA infinita. Ricordiamo a settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso (1) è che 1 LT1. Consente di calcolare il Var (x t) utilizzando la rappresentazione causale. Questo ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede (phi1lt1) altrimenti i diverge serie. Navigazione